Интегрирование функций нескольких переменных Геометрические свойства интеграла ФНП Курсовые и лабораторные работы Математика решение задач Электротехника Лабораторные работы по электронике Физика Информатика На главную


Математика курсовые задачи примеры решений

Некоторые свойства интеграла ФНП

1. Если   на , то интеграл  равен значению
меры фигуры , т.е. , например,  длине дуги ;  объему тела и т.д.

2. Вычисление интеграла функции является линейной операцией, т.е. , , , ,

;

предполагается существование всех встречающихся здесь интегралов. Свойство линейности объединяет свойства: однородность и
аддитивность по функции.

3. Аддитивность по множеству интегрирования:

если   – интегрируема на  и фигура  разбита на две фигуры  и  так, что  и  – фигура меньшей размерности, то

.

Например,

,

где . Заметим, что для определенного интеграла написанное равенство верно и для ; предполагается существование
входящих интегралов.

4. Сравнение интегралов:

если    и обе функции интегрируемы на ,
то .

Частные случаи. 1) Оценка интеграла: если существуют числа  и  такие, что  , то .

2) Для любой интегрируемой функции  на  имеет место неравенство

.

3) Выражение  называется средним значением интегрируемой функции , , на множестве .

Среднее значение на множестве  непрерывной на  функции ,  равно ее значению в некоторой точке  фигуры .

В самом деле, если  – ограниченное связное замкнутое
множество; ,  – непрерывная на  функция, то можно взять , . Тогда из неравенства  по свойствам непрерывной функции имеем

(промежуточное значение между  и  достигается в некоторой точке на ).

Итак, среднее значение непрерывной на  функции  
достигается в некоторой точке на .

Например, среднее значение  на , равное , достигается в точке , поскольку  и

.

Многие теоремы о пределах, рассмотренные подробно для функции одной переменной (сокр. ФОП), могут быть перефразированы и доказаны для ФНП. Это прежде всего теорема об единственности предела (конечного), теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел при , теорема "об арифметике" функций, имеющих конечные пределы при  и т.д. Приемы вычисления предела ФОП также могут быть использованы для ФНП.

Показать, что функция   непрерывна в точке   по каждой координате  и , но не является непрерывной в точке  по совокупности переменных.

Пусть , , . Частные производные первого порядка функции  вводятся соответственно соотношениям

Записать уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке .


Сборочный чертеж сварного соединения Типовые задачи