Вычисление площади криволинейной поверхности Длина дуги в декартовых координатах Курсовые и лабораторные работы Математика решение задач Электротехника Лабораторные работы по электронике Физика Информатика На главную


Математика типовые задачи курсовая примеры

Теория линейных ДУ

Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) называется уравнение вида, (4)

линейное по неизвестной функции и всем ее производным, функции   и  заданы на общем интервале .

Если на   , то, поделив на  обе части ДУ (4), получим ЛДУ в приведенном виде

. (5)

Обозначим через  дифференциальный оператор , тогда ДУ (5)
запишется в операторной форме .

При   на  имеем  – однородное ЛДУ
(ОЛДУ), при   на  –  – неоднородное ЛДУ (НЛДУ) -го порядка.

Впредь будем различать ОЛДУ с переменными коэффициентами и ОЛДУ с постоянными коэффициентами (ОЛДУ п/к) в зависимости от того, являются ли коэффициенты   постоянными функциями на . Свойства решений ЛДУ (5) известны (см. [2]).

Прежде всего согласно теореме существования единственного решения задачи Коши для ДУ -го порядка можно утверждать, что для любых НУ:  где  и  – произвольный вектор, найдется окрестность , , на которой существует единственное решение соответствующей задачи Коши для НЛДУ; доказано [4, с. 274], что это решение продолжаемо на . Здесь  – общий интервал непрерывности всех коэффициентов и правой части НЛДУ (5). Для ОЛДУ п/к, очевидно, решение  задачи Коши существует на  и притом единственное.

Свойства решений ОЛДУ  устанавливаются следующими утверждениями.

Пусть  – множество всех решений ,  ОЛДУ , т.е. , каждая функция   раз дифференцируема на , причем каждая из производных решения непрерывна на .

Утверждение 1. Множество  – линейное пространство.

В самом деле, сумма двух произвольных решений ОЛДУ является решением этого ДУ, так как

.

Поэтому ,   .

Умножение всякого решения на число приводит снова к решению ОЛДУ, поскольку

,  .

Аксиомы линейности для пространства  легко проверяются, при этом нулевым элементом пространства  является тривиальное решение ОЛДУ .

Утверждение 2. Пространство  изоморфно пространству .

В самом деле, для  имеем в точке  , , ,  и . Указанное отображение  – гомоморфизм, поскольку каждому элементу  соответствует определенный элемент из , причем сумме прообразов в  соответствует сумма соответствующих образов в , умножение прообраза на число соответствует умножению на это же число его образа.

Обратное отображение:   реализуется
решением задачи Коши   и тоже определяет гомоморфизм, поскольку используемые здесь операции дифференцирования и интегрирования являются линейными.

Итак, между пространствами  и  установлено взаимно
однозначное отображение с сохранением действий сложения элементов и умножения элемента на число (изоморфное отображение), т.е. пространства  и  изоморфны, и поэтому их размерности совпадают.

Решить ДУ . Пространство  имеет размерность , его "базис" состоит из  линейно независимых элементов из . Теорема о необходимом условии линейной зависимости произвольной системы функций Поскольку понятия линейной зависимости и независимости системы решений ОЛДУ  отрицают друг друга, то теперь можно сформулировать критерий линейной независимости системы решений ,  ОЛДУ. Найти ФСР ОЛДУ . Записать общее решение. По НУ:   выделить частное решение. Итак, для нахождения общего решения НЛДУ нужно

Решить  СДУ имеет нормальную форму записи, если удается записать ее уравнения в виде, разрешенном относительно первых производных неизвестных функций

Геометрическая интерпритация СДУ в нормальной форме и ее решений

Пространство переменных  СДУ в нормальной форме называется фазовым пространством системы. Его структура может быть различной

  Задача КОШИ для СДУ в нормальной форме При рассмотрении прикладной задачи, требующей решения СДУ, как правило, интересует единственное решение. Поэтому нужно уметь выделять из бесконечного множества решений СДУ требуемое решение.

Является ли двухпараметрическое семейство функций ,  общим решением СДУ  Сведение СДУ к одному ДУ

Свести СДУ  к одному ДУ. Решить ДУ. Записать СДУ и решение СДУ в векторной и векторно-матричной формах.


Амплитуда и начальная фаза колебаний Решение задач Линейные дифференциальные уравнения