Вычисление площади криволинейной поверхности Длина дуги в декартовых координатах Курсовые и лабораторные работы Математика решение задач Электротехника Лабораторные работы по электронике Физика Информатика На главную


Математика типовые задачи курсовая примеры

Метод интегрируемых комбинаций

Иногда при решении СДУ  удается преобразовать уравнения СДУ к ДУ относительно некоторой комбинации искомых функций, которое легко интегрируется. В результате находим соотношение вида , связывающее искомые функции  и аргумент  (это соотношение называют первым интегралом СДУ). Очевидно, что если найти  первых интегралов , и они окажутся линейно независимыми относительно  (якобиан ), то СДУ решена, и ее ответ записывается либо в виде общего интеграла – совокупности  линейно независимых первых интегралов, либо в виде общего решения (после того, как  уравнений , разрешены относительно ).

ПРИМЕР 5. Решить СДУ

Решение. СДУ состоит из двух нелинейных ДУ. Ее можно свести к одному ДУ , но его решение достаточно сложное. В то время, как интегрируемые комбинации очевидны; складываем оба уравнения системы и получаем ДУ  относительно комбинации функций . Решаем ДУ разделением переменных , после интегрирования имеем  или  – первый интеграл СДУ.

Вычитая уравнения, получим ДУ  или  – также первый интеграл СДУ. Обозначим через  и  и составим якобиан

 

в при  (при  СДУ сводится к ДУ ).

Заметим, что не всякое соотношение, связывающее неизвестные функции, аргумент и постоянную, является первым интегралом решаемой СДУ.

Первым интегралом СДУ ,  
называется такое соотношение вида , которое обращается в тождество при подстановке всякого решения СДУ, при этом сама функция  не тождественна постоянной.

 Технику работы с этим правилом будем осваивать, начиная с простейших случаев, при этом будем формулировать частные правила, вытекающие из общего.

1. Если f(x) = Pm(x) (т.е. f(x) - многочлен степени m), то частное решение ищется в виде yчн(x)= Rm(x), если число 0 не является корнем характеристического уравнения, и в виде yчн(x)= xr Rm(x), если число 0 - корень характеристического уравнения кратности r. Rm(x) - многочлен степени m с неопределёнными коэффициентами.

Это правило следует из общего, если записать f(x) = Pm(x) в виде f(x) = e0 x [Pm(x) cos 0x + 0 sin 0x]. В этом случае s0 = 0 + 0i =0, m1 = m, m2 = 0, max(m1,m2) = m, поэтому

yчн(x)= xr e0 x [Rm(x) cos 0x + Sm(x) sin 0x] = xr Rm(x) .

 – СДУ второго порядка сводится к ДУ , откуда   и из первого уравнения , т.е.  – общее решение СДУ.

СДУ в нормальной форме  может быть представлена в виде , симметричном относительно переменных. Так, например, симметричная форма записи СДУ

Достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для СДУ вида

Свойства решений СОЛДУ Рассмотрим вектор-функции  и . При каждом   и  линейно зависимы, но ни одна из этих вектор-функций не получается из другой умножением на число, т.е. на  эти функции линейно независимые. Теорема о структуре общего решения СОЛДУ

Некоторые свойства матриц ФСР СОЛДУ Общее решение СОЛДУ  запишется , где  – произвольный вектор, . При этом задача Коши  имеет единственное решение , поскольку из соотношения  имеем .

Пример Решить СДУ 

Метод Эйлера

Решить СОЛДУ . Решить СОЛДУ  .


Ответы на билеты к экзамену по физике Линейные дифференциальные уравнения