Курсовые и лабораторные работы Математика решение задач Электротехника Лабораторные работы по электронике Физика Информатика На главную
Уравнения Максвелла Энергетические единицы Световые величины Освещенность Монохроматические аберрации Дифракционная структура Матричная теория Закон преломления Формулы Френеля Математические модели

Основные характеристики структуры изображения (ФРТ, ОПФ)

Основные понятия

Изображающие приборы могут давать изображение различного качества с точки зрения передачи структуры предмета. Структура и форма светового поля в пространстве изображений подобна структуре и форме предмета, однако оптическая система вносит в эту структуру свои изменения, оценка которых есть оценка качества изображения.

Передача структуры предмета или изображения – это отображение оптической системой мелких деталей объекта. Для описания такого отображения необходимо математическое описание предмета и изображения в виде функций и . Эти функции описывают зависимость распределения интенсивности от пространственных координат.

Представим предмет в виде совокупности бесконечного количества светящихся точек. Для того, чтобы считать, что изображение предмета – это совокупность изображений соответствующих точек предмета, оптическая система должна удовлетворять свойствам линейности и инвариантности к сдвигу.

Свойство линейности

Изображение суммы объектов равно сумме изображений каждого объекта:

        (9.1.1)

То есть, если предмет – это сумма точек , то изображение – сумма изображений этих точек . Изображающие оптические системы полностью линейны.

Свойство инвариантности к сдвигу (условие изопланатизма)

При смещении точки ее изображение только смещается на пропорциональную величину (рис.9.1.1):

        (9.1.2)
где – увеличение.


Рис.9.1.1. Условие изопланатизма.

В отличие от условия линейности, условие изопланатизма в оптических системах соблюдается приблизительно, поскольку характер изображения при смещении изменяется. Изопланатизм, как правило, не соблюдается в пределах всего поля, обычно он соблюдается только при небольших смещениях.

Изопланатическая зона – это зона, в пределах которой соблюдается условие изопланатизма. Чем больше размер изопланатической зоны, тем лучше изопланатизм. Если зона полностью перекрывает предмет, то система полностью изопланатична. Мы будем рассматривать структуру изображения в пределах одной изопланатической зоны.

Функция рассеяния точки

В идеальной оптической системе точка изображается в виде точки, а в реальной оптической системе точка изображается в виде пятна рассеяния (рис.9.1.2).


Рис.9.1.2. Изображение точки в пределах изопланатической зоны.

Основной характеристикой, описывающей передачу структуры предмета оптической системой является функция рассеяния точки.

Функция рассеяния точки (ФРТ, point spread function, PSF) – это функция, описывающая зависимость распределения освещенности от координат в плоскости изображения, если предмет – это светящаяся точка в центре изопланатической зоны.

Зная функцию рассеяния точки, можно найти изображение любого предмета, если разложить его на точки и найти ФРТ от каждой точки. Если есть предмет , то каждая его точка изображается в виде функции , то есть ФРТ смещается в точку с координатами () (рис.9.1.2), а изображение всего предмета будет представлять собой сумму этих изображений:

      (9.1.3)

Если увеличение принять за единицу, то выражение (9.1.3) становится сверткой (конволюцией).

Функция изображения есть свертка функции предмета с функцией рассеяния точки:

        (9.1.4)

Гармонический периодический объект

Предмет кроме разложения на отдельные точки можно разложить на другие элементарные части – периодические решетки.

Периодическая решетка – это структура с белыми и черными полосами.

Гармоническая периодическая решетка – это структура, интенсивность которой описывается гармонической функцией (рис.9.1.3).

В электронике существует аналог гармонической решетки – периодический во времени сигнал на входе прибора.


а) распределение интенсивности


б) сечение распределения интенсивности

Рис.9.1.3. Гармоническая периодическая решетка.

Гармоническая периодическая решетка описывается выражением:

      (9.1.5)

где – вещественная амплитуда, – сдвиг, – период, – угол ориентации.

Вместо периода можно использовать пространственную частоту , а вместо вещественной амплитуды и сдвига – комплексную амплитуду:

      (9.1.6)

Тогда интенсивность гармонической решетки в комплексной форме:

      (9.1.7)

Величину можно выразить как , тогда интенсивность гармонической решетки будет зависеть от двух координат :

      (9.1.8)

где – частота в направлении , – частота в направлении .

Любой объект, как было сказано выше, можно разложить на элементарные гармонические объекты, тогда изображение – это совокупность изображений элементарных объектов. Эти изображения для реальных оптических систем всегда имеют искажения, что связано с законом сохранения энергии. Идеальные оптические системы нарушают закон сохранения энергии, так как они для сохранения неизменной структуры предмета должны передавать бесконечно большую энергию.

Изображение гармонического объекта можно описать, если в выражение ( 9.1.3) подставить в качестве распределения интенсивности на предмете функцию (9.1.8):

      (9.1.9)

Если выразить координаты предмета и изображения в едином масштабе, то , следовательно:

После замены переменных , , получим:



или, после переобозначения , :

      (9.1.10)

Двойной интеграл в выражении (9.1.10) – это некоторая функция , зависящая от пространственных частот.

Обозначим , и запишем распределение интенсивности на изображении гармонического объекта в следующем виде:

        (9.1.11)

Как показывают соотношения ( 9.1.8) и (9.1.11), изображение от предмета отличается только комплексной амплитудой, то есть изображение гармонической решетки любой оптической системы есть гармоническая решетка с той же частотой. Поэтому гармоническую решетку удобно использовать для исследования и оценки передачи структуры изображения. Изменение комплексной амплитуды гармонической решетки – это и есть действие оптической системы.

Оптическая передаточная функция (ОПФ)

Оптическая передаточная функция (optical transfer function, OTF) характеризует передачу структуры предмета оптической системой как функция пространственных частот:

        (9.1.12)

ОПФ связана с ФРТ интегральным преобразованием – преобразованием Фурье:

      (9.1.13)

или

или

где – обозначение Фурье преобразования:

      (9.1.14)

ФРТ показывает, как оптическая система изображает точку, а ОПФ показывает, как оптическая система изображает гармоническую решетку, то есть как меняется комплексная амплитуда решетки в зависимости от частоты.

Оптическая передаточная функция – это комплексная функция:

        (9.1.15)

Модуль ОПФ называется модуляционной передаточной функцией (МПФ) или частотно-контрастной характеристикой (ЧКХ). Аргумент (фаза) ОПФ называется фазовой передаточной функцией (ФПФ) или частотно-фазовой характеристикой (ЧФК).

Частотно-контрастная характеристика показывает передачу вещественной амплитуды гармонического объекта:

      (9.1.16)

где – амплитуда на предмете, – амплитуда на изображении.

Амплитуда изображения гармонического объекта тесно связана с контрастом. Контраст для периодических (гармонических) изображений (рис.9.1.4) определяется выражением:

      (9.1.17)


Рис.9.1.4. Контраст гармонического объекта.

. Абсолютный контраст получается, когда (рис.9.1.5.а). Контраст в изображении нулевой , когда – изображение практически отсутствует (рис.9.1.5.б).


а) абсолютный контраст

б) нулевой контраст

Рис.9.1.5. Абсолютный и нулевой контраст гармонического объекта.

Чем больше контраст, тем лучше различаются мелкие детали изображения. Изображение нельзя зарегистрировать или увидеть в случае, если:

      (9.1.18)

где – порог контраста, зависящий от приемника изображения (например, для глаза ).

Контраст для изображения гармонического объекта может быть выражен через постоянную и переменную составляющие изображения гармонического объекта (рис.9.1.6):

      (9.1.19)


Рис.9.1.6. Постоянная и переменная составляющие изображения объекта.

Если , то ЧКХ, как следует из выражения ( 9.1.16) будет определяться следующим соотношением:
        (9.1.20)
где – контраст изображения, – контраст предмета.

Частотно-контрастная характеристика показывает зависимость контраста изображения гармонической решетки от частоты решетки, если считать, что на предмете контраст единичный (рис.9.1.7). Для идеальной оптической системы ЧКХ – прямая, параллельная оси.


Рис.9.1.9. Частотно-контрастная характеристика.

Для ближнего типа предмета или изображения пространственная частота измеряется в . Для дальнего типа пространственная частота измеряется в .

Итак, передача структуры изображения описывается ФРТ или ОПФ, которые связаны через взаимно однозначные преобразования Фурье. Наглядно отобразить двумерную функцию ОПФ можно в виде:


Геометрическая и физическая оптика Оптический диапазон состоит из следующих видов излучения: рентгеновское, ультрафиолетовое (УФ), видимое, инфракрасное (ИК).