Курсовые и лабораторные работы Математика решение задач Электротехника Лабораторные работы по электронике Физика Информатика На главную
Инженерная графика Строительная механика Машиностроительное черчение Курсовые и лабораторные работы Компьютерная математика

Задачи по сопротивлению материалов Строительная механика

Построение эпюр нормальных сил и напряженийт для брусьев в статически определимых задачах

 Задача . Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений для бруса, изображенного на рис. 1.1.1. Собственный вес бруса в расчете не учитывать.

 Решение. Для определения внутренних усилий разбиваем прямолинейный брус на участки. Границами участков являются точки продольной оси, соответствующие изменению площади поперечного сечения и точкам приложения сосредоточенных сил. Из рассмотрения рис. 1.1.1, а определяем, что брус необходимо разбить на четыре участка.

 Проводим сечение I – I. Отбросим верхнюю часть бруса, ее действие заменим нормальной силой N1 (рис. 1.1.1, б). Запишем уравнение равновесия, проектируя силы на ось бруса:

 откуда N1 = F.

 Очевидно, что на всем первом участке () нормальная сила N1 постоянна по величине. Откладываем в масштабе значение нормальной силы N1 = F в пределах участка I – I (рис. 1.1.1, е).

 Проводим сечение II – II и, отбрасывая верхнюю часть бруса, заменяем ее действие нормальной силой N2 (рис. 1.1.1, в). Проектируем все силы на ось бруса:

 

 
 откуда N2 = –F.

 


Рис. 1.1.1

 Аналогично находим нормальные силы в сечении III – III (рис. 1.1.1, г):

 откуда N3 = –F

и в сечении IV – IV (рис. 1.1.1, д):

 откуда N4 = 0.

 Откладывая в масштабе значения нормальных сил N2, N3, N4 в пределах соответствующих участков, получаем эпюру нормальных сил (рис.1.1.1,е). Полученную таким путем эпюру принято штриховать прямыми линиями, перпендикулярными к оси бруса. Каждая такая линия в принятом масштабе дает величину нормальной силы в соответствующем поперечном сечении бруса. Знак «плюс» показывает, что в пределах данного участка – растяжение, а знак «минус» – сжатие.

 Для построения эпюры нормальных напряжений  воспользуемся формулой (1.2) для каждого участка:

 Эпюра нормальных напряжений (рис. 1.1.1, ж) показывает, что наибольшего значения нормальные напряжения достигают в пределах третьего участка (участок III).

 Задача 1.1.2. Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений для бруса, изображенного на рис.1.1.2, а. Принять a = 0,4 м; площадь поперечного сечения бруса на участках III и IV А = 20 см2; сосредоточенная сила F = 0,5 кН, собственный вес = 0,0078 кг/см3 = 76,44 кН/м3.

 Решение. Для определения внутренних усилий разбиваем брус с прямолинейной осью на четыре участка. Проводим сечение I – I (рис. 1.1.2, а) и отбрасываем верхнюю часть бруса, заменяя действие отброшенной части нормальной силой N1 (рис. 1.1.2, б). Так как сечение I –I может быть проведено в любом месте участка I, то длина оставшейся части участка будет переменной величиной, и поэтому обозначим ее через x (рис. 1.1.2, б), причем . Запишем уравнение равновесия, проектируя силы, действующие на оставшуюся часть бруса, на направление оси бруса: 


 откуда

Подпись: жПодпись: еПодпись: дПодпись: гПодпись: вПодпись: бПодпись: аРис. 1.1.2

 Через  обозначен собственный вес оставшейся части бруса первого участка, в пределах которого площадь поперечного сечения равна 2А, а длина оставшейся части обозначена через x. Подставим численные значения в полученную формулу:

.

 Записанное выражение показывает, что эпюра нормальных сил в пределах первого участка представляет собой наклонную прямую линию. Для построения этой прямой определим значение нормальной силы N1 в начале первого участка (x = 0): N1(x = 0) = 500 Н и в конце первого участка (x = a= = 0,5 м): N1 (х = 0,5 м) =

 Полученные значения откладываем в масштабе в соответствующих точках эпюры нормальных сил (рис. 1.1.2, е). Найденные точки соединяем прямой линией, затем штрихуем первый участок эпюры прямыми линиями, перпендикулярными к оси бруса.

 Проводим сечение II – II и повторяем порядок расчета, описанный выше для сечения I – I. Переменная величина х участка II – II будет изменяться в пределах . Составим уравнение равновесия (рис. 1.1.2, в)

 откуда

где – собственный вес части бруса, расположенного ниже сечения II – II. Окончательно имеем

 Определяем значение нормальной силы N2 в начале второго участка (х= 0,5 м):  и в конце этого же участка (х = хmax = 1 м):

 Полученные значения N2 откладываем в масштабе в начале и в конце второго участка (рис. 1.1.2, е).

 Проводим сечение III – III и для оставшейся части бруса составляем уравнение равновесия (рис. 1.1.2, г)

откуда  где  – собственный вес оставшейся части бруса третьего участка; – собственный вес первого и второго участков.

 Тогда для участка

где нормальная сила N3 в начале третьего участка будет N3(х=0) = –194,2 Н; а в конце третьего участка получаем N3 (х = a = 0,5 м) = –117,8 Н. Найденные значения N3 переносим на эпюру нормальных сил.

 И наконец, рассматривая равновесие оставшейся части бруса, после проведения сечения IV – IV получаем (рис. 1.1.2, д)

откуда  где = 305,76 Н – собственный вес участков I – I и II – II, 152,88х – собственный вес третьего и оставшейся части четвертого участков.

 В этом случае имеем

т.е. в начале четвертого участка N4 (х = 0,5 м) = 382,2 Н, а в конце этого же участка N4 (х = 1 м) = 458,64 Н. Вычисленные значения N4 откладываем в масштабе на эпюре нормальных сил (рис. 1.1.2, е).

 Эпюра нормальных сил показывает, что первый и четвертый участок подвержены растяжению, а второй и третий – сжатию.

 Для вычисления значений нормальных напряжений  и построения эпюры нормальных напряжений используем формулу (1.2):

 Эпюра нормальных напряжений показывает, что самое большое нормальное напряжение возникает в сечении, проходящем через точку Л четвертого участка (рис. 1.1.2, ж), т.е. на опоре.

В сопротивлении материалов рассматриваются вопросы расчета отдельных элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. В настоящем разделе собраны типичные задачи по различным видам простого и сложного сопротивления отдельного бруса. Изложены основные сведения по всем вопросам сопротивления материалов. Расчетные формулы даны без выводов, но с необходимыми пояснениями, облегчающими их практическое применение.

Задача. Дан прямой стержень кусочно-постоянного сечения, для которого a1 = 25 см, a2 = 15 см, a3 = 10 см, a4 = 20 см, А1 = А = 20 см2, А2 = =А3 = 4А. А4 = 2А. Стержень находится под действием сосредоточенных сил F1 = 327,2 Н; F2 = 1 кН; F3 = 500 Н и собственного веса с = 78,5 кН/м3, действующих вдоль оси стержня.

 Задача. Проверить прочность стального стержня. Материал – сталь с Ry = 2450 кг/см2 и объемным весом = 0,00785 кг/см3,  F = 10 т, = 1.

Перемещения поперечных сечений брусьев в статически определимых задачах


Задачи по сопротивлению материалов