Курсовые и лабораторные работы Математика решение задач Электротехника Лабораторные работы по электронике Физика Информатика На главную
Инженерная графика Строительная механика Машиностроительное черчение Курсовые и лабораторные работы Компьютерная математика

Задачи по сопротивлению материалов Строительная механика

Расчет кривых брусьев малой кривизны

Если отношение высоты h кривого бруса к его радиусу кривизны Ro существенно меньше единицы (h/Ro < 0,2 ), то считается, что брус имеет малую кривизну. Расчетные формулы, выведенные ранее для прямого бруса, применимы и к брусу малой кривизны.

Расчет на прочность сжато-изгибаемых и растянуто-изгибаемых брусьев малой кривизны следует выполнять по формуле

  (5.4.1)

где и z – координаты рассматриваемой точки поперечного сечения относительно его главных осей.

 В частном случае, если равны нулю поперечная сила Qz и изгибающий момент , будет сочетание прямого изгиба в главной плоскости с растяжением или сжатием. В этом случае расчет следует выполнять по формуле

  (5.4.2)

 Задача 5.4.1. Построить эпюры изгибающих моментов Мz, поперечных   и нормальных N сил для трехшарнирной круговой арки, показанной на рис. 5.4.1, а. При расчете принять q = 3 т/м, F1 = F2 = 10 т, l = 24 м, f = 6 м.

 Определить  в прямоугольном поперечном сечении арки. Размеры поперечного сечения принять .

 Решение. Определим опорные реакции VA, VB, для чего рассмотрим

 откуда VB = 14,75 т;

откуда VA = 23,25 т.

 Составим условие:  тогда  Горизонтальные опорные реакции Н определяем из уравнения  составляемого при рассмотрении только правой части арки

 откуда Н = 19,5 т.

 Аналогичный результат получим, если рассмотреть только левую часть арки.

 Найдем вертикальные опорные реакции RA, RB простой балки, показанной на рис. 5.4.1, б. Предположим, что на балку действует та же нагрузка, что и на арку. В этом случае найдем RA = VA , RB = VB.


В общем виде внутренние усилия в произвольном сечении  трехшарнирной арки выражаются через внутренние усилия  соответствующего сечения простой балки по формулам:

  (5.4.3)

где φ – угол между касательной к оси арки в точке х = const и горизонтальной линией х. Таким образом, для использования формул (5.4.3) необходимо предварительно записать аналитические выражения для изгибающих моментов  поперечных сил  для каждого участка простой балки (рис. 5.4.1, б):

:

 

 

 

 По полученным формулам вычисляем для простой балки с шагом 1 м. Результаты заносим в табл. 5.4.1.

 По условию задачи арка очерчена по окружности, следовательно, ось арки имеет ординату

  (5.4.4)

где радиус кривизны арки вычисляется по формуле

 Для рассматриваемого случая формула (5.4.4) примет вид:

 Находим значения у с шагом 1м, а результаты записываем в табл.5.4.1. Затем также с шагом 1 м вычисляем значения tgφ, cosφ и sinφ по формулам:

  (5.4.5)

 И наконец, по формулам (5.4.3) находим значения внутренних усилий, возникающих в арке. Например, в сечении х = 0 имеем у = 0,   sinφ = 0,8; cosφ = 0,6; Н = 19,5 т. Подставляя эти данные, взятые из первой строки табл. 5.4.1, в формулы (5.4.3) определяем:

Mz(x = 0) = 0 – 19,5·0 = 0;

N(x = 0) = – (23,25·0,8 + 19,5·0,6) = –30,3 т.

 Полученные результаты записываем опять же в первую строку табл. 5.4.1. Затем повторяем все вычисления с шагом . При вычислении внутренних усилий необходимо помнить, что в местах приложения сосредоточенных сил значения поперечных   и нормальных N сил изменяются скачкообразно.

Таблица 5.4.1

х

м

т·м

т

у

м

tgφ

cosφ

sinφ

Mz

тм

т

N

т

0

1

2

3

4

5

6

0

21,75

40,5

56,25

69

78,75

85,5

23,25

20,25

17,25

14,25

11,25

8,25

5,25

0

1,2

2,1

3

3,69

4,27

4,75

1,33

1,08

0,9

0,75

0,63

0,53

0,44

0,6

0,68

0,74

0,8

0,85

0,88

0,92

0,8

0,73

0,67

0,6

0,53

0,47

0,4

0

–1,61

–2,02

–2,25

–2,93

–4,45

–7,08

–1,65

–0,53

–0,14

–0,3

–0,88

–1,8

–2,99

–30,3

–28,1

–26

–24,2

–22,5

–21,1

–20

6

7

8

9

10

11

12

85,5

90,75

96

101,2

106

111,7

117

5,25

4,75

5,14

5,46

5,7

5,87

5,97

6

0,44

0,35

0,28

0,2

0,13

0,07

0

0,92

0,94

0,96

0,98

0,99

0,998

1

0,4

0,33

0,27

0,2

0,13

0,07

0

–7,08

–9,52

–10,4

–9,84

–7,89

–4,6

0

–2,99

–1,55

–0,14

1,24

2,6

3,93

5,25

–20

–20,1

–20,2

–20,2

–20

–19,8

–9,5

12

13

14

15

16

17

18

117

112,2

107,5

102,7

98

93,25

88,5

–4,75

6

5,97

5,87

5,7

5,46

5,14

4,75

0

–0,07

–0,13

–0,2

–0,28

–0,35

–0,44

1

0,998

0,99

0,98

0,96

0,94

0,92

0

–0,07

–0,13

–0,2

–0,27

–0,33

–0,4

0

–4,1

–6,89

–8,34

–8,41

–7,02

–4,08

–4,75

–3,44

–2,11

–0,75

 0,62

 2,02

3,45

–19,5

–19,8

–20

–20,1

–20,1

–20

–19,8

18

19

20

21

22

23

24

88,5

73,75

59

44,25

29,5

14,75

0

–14,75

4,75

4,27

3,69

3

2,1

1,2

0

–0,44

–0,53

–0,63

–0,75

–0,9

–1,08

–1,33

0,92

0,88

0,85

0,8

0,74

0,68

0,6

–0,4

–0,47

–0,53

–0,6

–0,67

–0,73

–0,8

–4,08

–9,45

–12,9

–14,3

–13

–8,61

0

–5,72

–3,45

–0,21

–0,1

2

4,27

6,75

–23,77

–24,1

–24,4

–24,5

–24,4

–24,1

–23,5

 Рассмотрим сечение х = 12 м (точка С на рис. 5.4.1, а). Величины и N в сечении х = 12 – 0 м, принадлежащим второму участку, приведены в табл. 5.4.1. Но сечение х = 12 + 0 м одновременно принадлежит и третьему участку, поэтому определяем  и N по формулам (5.4.3) при условии, что  берется в сечении х = 12 м третьего участка простой балки:

 N(x = 12) = – (–4,75·0 + 19,5·1) = –19,5 т.

 Аналогичные вычисления проводим для сечения х = 18 м, после чего приступаем к построению эпюр Mz, , N для арки (рис. 5.4.1, г).

 Из рассмотрения эпюр внутренних усилий арки можно сделать вывод, что наиболее опасным будет поперечное сечение х = 21 м с

Mz,max = 14,3 т·м и N = –24,5 т.

 Учитывая, что h = 60 см, b = 20 см (рис. 5.4.2), из формулы (5.4.2) определяем


 Задача 5.4.2. Построить эпюры изгибающих моментов Mz, поперечных и нормальных N сил для трехшарнирной параболической арки, показанной на рис. 5.4.3. Ось параболической арки очерчена по кривой

y = 4xf(l – x) / l2,

где f = 6 м, l = 24 м. При расчете принять q = 3 т/м; F1 = F2 = 10 т,

tgφ = 4f(l – 2х) / l2,

а sinφ, cosφ вычисляются по формулам (5.4.5). Определить   в прямоугольном поперечном сечении арки. Размеры поперечного сечения принять

 У к а з а н и е. При решении задачи использовать методику, рассмотренную в примере 5.4.1.

 Ответ: эпюры Mz, , N показаны на рис. 5.4.3;

 = –87,16 кг/см2 в сечении с х = 9 м.

 Задача 5.4.3. Построить эпюры изгибающих моментов Mz, поперечных и нормальных N сил для трехшарнирной эллиптической арки, показанной на рис. 5.4.4. Ось эллиптической арки очерчена по кривой


, tgφ = 4(f / l)2(l/2 – х) / y,

где f = 6 м, l = 24 м. При расчете принять q = 3 т/м; F1 = F2 = 10 т, а sinφ, cosφ вычисляются по формулам (5.4.5). Определить  в прямоугольном поперечном сечении арки. Размеры поперечного сечения принять

 У к а з а н и е. При решении задачи использовать методику, рассмотренную в примере 5.4.1.

 Ответ: эпюры Mz, , N показаны на рис. 5.4.4;

 = –313,44 кг/см2 в сечении с х = 22 м.

 Задача 5.4.4. Построить эпюры изгибающих моментов М, поперечных Q и нормальных N сил для разрезанного кольца (рис. 5.4.5).

 Ответ: MB = MD = rF, MC = 2rF, MA = ME = 0, NC = QD = F,

 QB = NA = –F,

 QC = NB = ND = 0.

 Задача 5.4.5. Построить эпюры изгибающих моментов М, поперечных Q и нормальных N сил для кривого стержня, показанного на рис. 5.4.6.

 Ответ: MC = MA = 0,

MB = rF, QCD = 0, QBC = –F, QA = 2F, NBD = 2F, NA = F.

 Задача 5.4.6. Построить эпюры изгибающих моментов М, поперечных Q и нормальных N сил для кривого стержня, показанного на рис. 5.4.7.

 Ответ: MC = MA = 0, MB = rF, MD = –rF,

 ME = –2rF, QC = QED = NB = F,

 QA = –F, NA = NC = NED = 0, ND = –F.

Задача. Подобрать по III теории прочности (по критерию наибольших касательных напряжений) размеры сплошного прямоугольного поперечного сечения   пространственного стального бруса, изображенного на рис. 5.3.8, а. Брус состоит из прямолинейных участков, перпендикулярных друг другу. Эпюры крутящего Мх и изгибающих Му, Мz моментов, нормальных N и поперечных Qy, Qz сил, действующих в поперечных сечениях пространственного ломаного бруса, показаны на рис. 5.3.8, б – е, ж. Размеры поперечного сечения бруса определять при условии, что отношение сторон k = h/b = 2 задано, а Radm = Ry = 240 МПа.

Расчет толстостенных труб В толстостенных трубах, нагруженных равномерным давлением, напряжения и деформации не изменяются вдоль оси трубы. При этом распределение напряжений и деформаций происходит одинаково во всех плоскостях, перпендикулярных к этой оси. По граням малого криволинейного элемента, выделенного в поперечном сечении трубы

Устойчивость сжатых стржней Наименьшее значение сжимающей силы, при котором сжатый стержень теряет способность сохранять прямолинейную форму равновесия, называется критической силой и обозначается Fcr. Определение критической силы при упругом продольном изгибе. Формула Эйлера. Формула Ясинского

Практические расчеты стержней на устойчивость

Задача. Для стального стержня с заданной формой поперечного сечения, сжатого силой N = 500 кН, требуется найти размеры поперечного сечения. Материал стержня – сталь C255. Длина стального стержня l = 4 м. Принять, что коэффициент условий работы .


Задачи по сопротивлению материалов Расчеты на растяжение и сжатие