Курсовые и лабораторные работы Математика решение задач Электротехника Лабораторные работы по электронике Физика Информатика На главную
Инженерная графика Строительная механика Машиностроительное черчение Курсовые и лабораторные работы Компьютерная математика

Задачи по сопротивлению материалов Строительная механика

Определение критических сил при помощи энергетического метода

 Энергетический метод основан на использовании теоремы Лагранжа – Дирехле о полной потенциальной энергии.

 Рассмотрим порядок расчета для энергетического метода:

 1. Задаются уравнением новой формы равновесия в виде одного или нескольких членов ряда, удовлетворяющих краевым условиям:

 При выборе функции у кинематические граничные условия (прогибы, углы поворота) должны быть удовлетворены обязательно. Статическим граничным условиям (изгибающим моментам, поперечным силам) удовлетворять не обязательно, однако для получения более точных результатов – крайне желательно. Имеются специальные таблицы для выбора уравнений криволинейной формы равновесия стержня, потерявшего устойчивость. Например, в табл.6.4.1 приведены данные для трех видов стержней.

 Таблица 6.4.1

Схема

стойки

Нижний (левый) конец

Верхний (правый) конец

Уравнение криволинейной формы равновесия прямых стержней

y(0)

y/(0)

y(l)

y/(l)

 

0

0

-

-

 

0

-

0

-

 

0

-

0

-

 2. Вычисляем полную потенциальную энергию П системы при переходе из новой формы равновесия в первоначальную:

  (6.4.1)

где rii – жесткость упругой связи, Н/м; ai – линейная деформация (удлинение или укорочение) упругой связи, Fcr,k – неизвестное значение критической силы и – перемещение, на котором критическая сила Fcr,k совершает работу.

 Принимая во внимание дифференциальное уравнение упругой оси балки   и выражение , формулу (6.4.1) можно представить в виде:

  (6.4.2)

 3. Определяем экстремальное значение потенциальной энергии из уравнений: 

 4. Приравнивая детерминант из коэффициентов при параметрах an нулю, определяем критические силы, число которых равно числу параметров an. Если используется точное выражение ординаты у искривленной оси, то получим точное значение критической силы. В основном критические силы получаются несколько завышенными.

 Задача 6.4.1. Определить критическую силу для прямого стержня, находящегося в упругой среде с коэффициентом податливости, равным k (рис. 6.4.1).

 Решение. Уравнение криволинейной формы равновесия прямого стержня берем из табл. 6.4.1 в виде:

 .

 Для вычисления полной потенциальной энергии по формуле (6.4.2) предварительно необходимо вычислить  и

а затем

  и

 Подставляя полученные значения в формулу (6.4.2), находим

 Из последнего выражения определяем

,

где m – число полуволн при потере устойчивости. Значение m, при котором Fcr равна минимальному значению, зависит от коэффициента податливости k упругого основания (Н/м2). При малом k можно принять m = 1.

 Продолжим исследование и предположим, что  тогда

 откуда

 Таким образом, если  то необходимо принимать m = 1,

если , то m > 1.

 Задача 6.4.2. Определить значение критической силы при помощи энергетического метода для абсолютно жесткой системы, изображенной на рис. 6.4.2. Жесткость двух упругих связей – одинакова и обозначена через k.

 Решение. Пусть система потеряла устойчивость и заняла новое положение. Так как стержни – абсолютно жесткие, то они не будут изгибаться, а останутся прямыми. В результате потери устойчивости на упругих опорах возникнут опорные реакции R = ka, где а – вертикальное отклонение концов горизонтального участка системы. На такое же расстояние а переместится в горизонтальном направлении верхний конец системы вместе с критической силой Fcr, а в вертикальном направлении перемещение верхнего конца системы составит (рис. 5.3.2)

 Кроме того, имеем, что  откуда  Тогда формула (6.4.1) примет вид:

 

 Из последнего выражения определяем

 Задача 6.4.3. Определить при помощи энергетического метода критическую силу для абсолютно жесткого стержня, показанного на рис. 6.3.3. Жесткость упругой связи равна k.

 Ответ: Fcr = kl.

 Задача 6.4.4. Определить энергетическим методом критическую силу в системе, представленной на рис. 6.3.7. Элементы системы – бесконечно жесткие. Жесткость упругой связи равна k.

 Ответ: Fcr = kl2/h.

 Задача 6.4.5. Определить энергетическим методом критическую силу в системе, представленной на рис. 6.3.6. Элементы системы – бесконечно жесткие. Жесткость упругой связи равна k.

 Ответ: Fcr = kl/2.

 Задача 6.4.6. Определить энергетическим методом критическую силу для сжатого прямого стержня, один конец которого жестко заделан, а другой свободен. Длина стержня – l. Жесткость на изгиб в обоих направлениях поперечного сечения равна EI.

 У к а з а н и е

 Уравнение криволинейной формы равновесия рассчитываемого стержня взять из табл. 6.4.1.

 Ответ: .

 Задача 6.4.7. Определить энергетическим методом значения критических сил для абсолютно жесткого стержня, показанного на рис. 6.3.2. Жесткости верхней и нижней упругих связей (пружин) равны k.

 Ответ: Fcr,1 = kl/2; Fcr,2 =.

 Задача 6.4.8. Два бесконечно жестких стержня связаны между собой шарниром (рис. 6.3.1) и оперты на упругие пружины, жесткость которых равна k. Определить критическое значение сжимающей силы с применением формулы для потенциальной энергии (6.4.1).

 Ответ: Fcr,1 = 0,38kl ; Fcr,2 = 2,63kl.


Задачи по сопротивлению материалов Расчеты на растяжение и сжатие