Курсовые и лабораторные работы Математика решение задач Электротехника Лабораторные работы по электронике Физика Информатика На главную
Интегральное исчисление функции одной переменной

Математика примеры решения задач контрольной

Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы.

Задача. Бросается 4 монеты. Какова вероятность того, что три раза выпадет «решка»?

Решение. Подбрасывание монеты будем считать одним опытом. По условию задачи производится 4 одинаковых испытания. Вероятность успеха (выпадение «решки») в каждом испытании равна . Требуется найти, что среди проведенных испытаний будет  успешных. Для решения задачи воспользуемся формулой биномиального закона распределения дискретной случайной величины. . В условиях нашей задачи .

Ответ: 0.25.

Задача 2. В квадрат со стороной 2 вписан квадрат, вершины которого лежат на серединах сторон большего квадрата. Найти вероятность того, что наудачу брошенная в больший квадрат точка попадет в маленький квадрат.

Решение. Воспользуемся понятием геометрической вероятности. Будем искать вероятность попадания в меньший квадрат как отношение площади меньшего квадрата к площади большего квадрата. .

Ответ: .

Задача 3. Определить надежность схемы, если Pi – надежность i – го элемента

Решение. Разобьем цепь на три последовательно соединенных блока. И вычислим надежность каждого блока отдельно. Первый блок пропускает электрический ток в трех случаях: если исправен первый элемент и неисправен второй; если исправен второй элемент и неисправен первый; и если оба элемента исправны. Таким образом, надежность этого блока может быть представлена суммой: . Однако проще надежность этого элемента вычислить через вероятность противоположного события. Вычислим вероятность того, что блок не пропускает ток и надежность найдем по формуле вероятности противоположного события. Блок не исправен только в случае когда и первый и второй элементы неисправны: , следовательно, надежность блока может быть вычислена как разность: . Аналогично вычисляется надежность второго блока: . Теперь, зная надежности трех последовательно соединенных блоков, вычислим надежность цепи в целом. Схема пропускает ток только если все три блока исправны, то есть надежность схемы: .

Ответ: .

Теорема Лопиталя.

1. Неопределенность вида 0/0. Первое правило Лопиталя.

Если = 0, то , когда последний существует.

2. Неопределенность вида ¥/¥. Второе правило Лопиталя.

Если = ¥, то , когда последний существует.

3. Неопределенности вида 0× ¥, ¥ - ¥, 1¥ и 00 сводятся к неопределенностям 0/0 и ¥/¥ путем алгебраических преобразований.

   Теорема 7.5   Пусть функция $ f(x)$не ограничена на отрезке $ [a;b]$. Тогда эта функция $ f(x)$не может быть интегрируемой на $ [a;b]$, то есть не существует предела интегральных сумм для функции $ f(x)$при условии $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$. Иными словами, если функция интегрируема, то она ограничена.

        Доказательство.     Фиксируем любое разбиение $ X$с произвольным диаметром $ d=\mathop{\rm diam}\nolimits (X)$. Поскольку функция $ f(x)$не ограничена на отрезке $ [a;b]$, то она не ограничена хотя бы на одном из отрезков разбиения $ [x_{i_0-1};x_{i_0}]$. Предположим, что функция не ограничена на этом отрезке сверху (случай неограниченности снизу разбирается совершенно аналогично), и покажем, что тогда интегральную сумму, соответствующую этому разбиению, можно сделать как угодно большой лишь за счёт выбора точки разметки, лежащей на отрезке $ [x_{i_0-1};x_{i_0}]$. Выберем точки разметки $ \ov x_i$, лежащие на прочих отрезках разбиения, то есть при $ i\ne i_0$, и зафиксируем. Тогда эти фиксированные отрезки и точки разметки дадут некоторый фиксированный вклад в интегральную сумму, равный $ s=\sum\limits_{i\ne i_0}f(\ov x_i)h_i.$

Дан ряд распределения дискретной случайной величины Y. Определить значение x и вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Y.

Задана матрица вероятностей перехода для цепи Маркова за один шаг. Найти матрицу перехода данной цепи за три шага.

Задача. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя компьютерами поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если заняты все три компьютера, то вновь поступающий заказ не принимается и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0.25 (з/час). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.


Тени цилиндра Тени конуса Начертательная геометрия Обыкновенные дифференциальные уравнения