Курсовые и лабораторные работы Математика решение задач Электротехника Лабораторные работы по электронике Физика Информатика На главную
Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна

Математика примеры решения задач самостоятельной работы

Аналитическая геометрия

Задача

Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти:

уравнение стороны AD;

уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;

длину высоты BK;

уравнение диагонали BD;

тангенс угла между диагоналями параллелограмма.

Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую. Решение. Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата.

Решение.

Сначала построим чертеж. Построим в прямоугольной декартовой системе координат точки , , . Построим отрезки  и .

Рис. 1

Достроим полученный рисунок до параллелограмма и нанесем на чертеж высоту BK.

 

Рис. 2

Суммой двух векторов  и  называется вектор , который идет из начала вектора  в конец вектора  при условии, что вектор  приложен к концу вектора  (рис. 3.2, а) (правило треугольника). Очевидно, что вектор  в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах  и  (рис. 3.2, б) (правило параллелограмма).

Аналогично определяется сумма нескольких векторов: если векторы ,…,  образуют ломаную , то суммой этих векторов является вектор , замыкающий эту ломаную (рис. 3.2, в) (правило многоугольника).

В частности, если ломаная замыкается, т.е. , то сумма ее звеньев равна нулевому вектору  .


Разностью двух векторов   и  называется вектор , являющийся суммой векторов  и . Отметим, что вектор  направлен к концу вектора , если  и  приведены к общему началу ( рис. 2.2, б).

Понятие функциональной зависимости. Пусть даны два непустых множества   и  множества . Если каждому элементу  ставится в соответствие один и только один элемент , то  называется функцией  (отображением) аргумента . Это записывается в виде

.  (4.1)

Другими словами, с помощью функции  подмножество  отображается в подмножество , поэтому вместо соотношения (12.1) допустима запись

. (4.2)

Подмножество  называется областью определения (существования) функции , подмножество  – множеством ее значений. Аргумент  часто называют независимой переменной, функцию  – зависимой переменной, а соответствие между ними – функциональной зависимостью.

Кроме буквы  для обозначения функций используют и другие буквы, например: , , ,  и т.д. Значение, которое функция  принимает при , обозначается .

Составим уравнение прямой AD. Составим уравнение высоты , проведенной из вершины  на сторону  как уравнение прямой, проходящей через точку  перпендикулярно прямой . Найдем уравнение диагонали  как уравнение прямой, проходящей через точки и , где  - середина отрезка . Найдем тангенс угла между диагоналями  и .

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Найти область определения функции .

Найти расстояние от точки  до плоскости : .

Найти косинус угла между плоскостями  и .

Найти направляющий вектор прямой .

Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку  параллельно прямой :

Найти угол между прямой :  и плоскостью : ..

Составить уравнение плоскости , проходящей через точку  перпендикулярно прямой : .

Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку  перпендикулярно плоскости :

К кривым второго порядка относятся эллипс, гипербола, парабола. Приведем рисунки и канонические уравнения этих кривых.

Привести уравнение кривой второго порядка  к каноническому виду и построить кривую. Решение. Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата.

Привести уравнение кривой второго порядка  к каноническому виду и построить кривую.

Кривая задана в полярной системе координат уравнением .

Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами


Дисперсия и поглощение света Физика лабораторные работы Исследование функций