Курсовые и лабораторные работы Математика решение задач Электротехника Лабораторные работы по электронике Физика Информатика На главную
Системы линейных уравнений

Математика примеры решения задач курсовой

Интегральное исчисление функции одной переменной.

При решении задач этой темы необходимо знать:

Определение и свойства неопределенного интеграла.

Таблицу основных интегралов.

Основные методы интегрирования.

Стандартные методы интегрирования наиболее часто встречающихся классов функций.

Определение, свойства и способы вычисления определенного интеграла. Двойной интеграл Математика примеры решения задач

Несобственные интегралы и их свойства.

Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

Таблица основных интегралов

1

 

2

3

4

 4а 

5

6

7

8

9

10

11

12

Неопределенный интеграл

Пример Найти интеграл . Решение. Преобразуя произведение двух сомножителей по приведенным формулам, получим

В математике, как правило, для каждого действия над изучаемыми объектами (числами, функциями, векторами и т.д.) определяется и обратное действие: сложение – вычитание; умножение – деление; возведение в степень – извлечение корня и т.д. При этом именно наличие обратных действий дает возможность решать наиболее содержательные задачи. Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Разнообразные вопросы математического анализа и его многочисленные приложения приводят к решению обратной задачи – восстановлению функции по известной ее производной или дифференциалу. С механической точки зрения это означает, что по известной скорости движения материальной точки необходимо восстановить закон ее движения.

Восстановление функций по известной производной этой функции – одна из основных задач интегрального исчисления.

6.1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов.

Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Функция  называется первообразной для функции  на интервале если  выполняется равенство

  (или ). (6.1)

Аналогично можно определить понятие первообразной на бесконечном промежутке и на отрезке , но в последнем случае в точках a и b надо рассматривать односторонние производные.

Покажем, что дифференциалы высших порядков  не обладают уже свойством инвариантности, как это имело место для дифференциала первого порядка.

Действительно, пусть , ,  – независимая переменная, т.е.  – сложная функция аргумента . Кроме того,  – дважды дифференцируемая функция на некотором промежутке изменения , а  – дважды дифференцируемая функция на соответствующем промежутке изменения .

Тогда по определению

 ,

откуда . Если же  – независимая переменная, то  и .

Вычислить интеграл .

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  и ; В зависимости от способа задания уравнения кривой существуют следующие формулы нахождения длины дуги кривой. Пусть функция  непрерывна на отрезке . Тогда объём тела, полученного вращением вокруг оси  криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу , определяется формулой: 

Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной графиками данных функций

Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным: .

Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:

Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:   где Решение. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла, причем способ такого сведения зависит от представления кривой интегрирования L

Вычислить площадь части сферы , вырезанной цилиндром  и плоскостью 

Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластины D, ограниченной линиями  

Найти величину и направление наибольшего изменения поля  в точке


Геометрические характеристики плоских сечений http://ingraf.ru/ Теория вероятностей