Курсовые и лабораторные работы Математика решение задач Электротехника Лабораторные работы по электронике Физика Информатика На главную
Системы линейных уравнений

Математика примеры решения задач контрольной

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задание. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение.  - неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 2-ого порядка. Решение будем искать в виде суммы решений: общего решения однородного уравнения  и частного решения неоднородного уравнения , которое будем искать по виду правой части. Начнем с отыскания .

  Составим характеристическое уравнение:  . Тройные и двойные интегралы при решении задач Замена переменной в определенном интеграле

Следовательно, общее решение однородного уравнения: .

  будем искать в виде . - частное решение уравнения, поэтому оно превращает его в верное числовое тождество. Подставим его в уравнение и вычислим А. .

. Значит . Таким образом, общее решение неоднородного уравнения . Для вычисления частного решения определим значения констант исходя из начальных условий:

; ;

;

Ответ: .

Действительно, рассмотрим какое-либо размеченное разбиение отрезка $ [a;b]$, содержащее в качестве одной из точек деления точку $ c=x_m$. Тогда, очевидно, интегральная сумма $ \wt S$для $ f$по отрезку $ [a;b]$представляется в виде

$\displaystyle \wt S=\sum_{i=1}^mf(\ov x_i)h_i+\sum_{i=m+1}^nf(\ov x_i)h_i,$

причём первая сумма,

$\displaystyle \wt S_1=\sum_{i=1}^mf(\ov x_i)h_i,$

является интегральной суммой для $ f$по отрезку $ [a;c]$, соответствующей размеченному разбиению $ \Xi_1$, заданному точками $ x_1,\dots,x_{m-1}$и $ \ov x_1,\dots,\ov x_m$, а вторая,

$\displaystyle \wt S_2=\sum_{i=m+1}^nf(\ov x_i)h_i,$--

интегральной суммой по отрезку $ [c;b]$, соответствующей размеченному разбиению $ \Xi_2$, заданному точками $ x_{m+1},\dots,x_{n-1}$и $ \ov x_{m+1},\dots,\ov x_n$. Заметим еще, что при $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_1)=\max\limits_{i=1,\dots,m}h_i\to0}$и $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_2)=\max\limits_{i=m+1,\dots,n}h_i\to0}$будет также $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)=\max\limits_{i=1,\dots,n}h_i\to0}$, так как, очевидно, $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)=\max\{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_1);\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_2)\}}$. Так что при измельчении разбиений отрезков $ [a;c]$и $ [c;b]$разбиение отрезка $ [a;b]$также будет измельчаться, и наоборот, из условия $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$следует, что $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_1)\to0$и $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_2)\to0$. Поэтому

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=
\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt...
...iam}\nolimits (\Xi_2)\to0}\wt S_2(\Xi_2)=
\int_a^cf(x)\;dx+
\int_c^bf(x)\;dx.$

Сделаем ещё такое важное замечание: в обозначении $ I=\int_a^bf(x)\;dx$совершенно неважно, какой именно буквой обозначена переменная интегрирования (в данном случае $ x$): если фиксированы подынтегральная функция $ f$и пределы интегрирования $ a$и $ b$, то интегралы $ \int_a^bf(t)\;dt$, $ \int_a^bf(z)\;dz$, $ \int_a^bf({\alpha})\;d{\alpha}$и т. п. означают одно и то же число $ I$, к которому стремятся интегральные суммы, построенные для функции $ f$на отрезке $ [a;b]$при измельчении размеченного разбиения. (Точно так же сумма $ S=\sum\limits_{i=1}^na_i$величин $ a_1,a_2,\dots,a_n$не зависит от того, какой буквой обозначать индекс суммирования: то же значение $ S$будут иметь суммы, обозначенные как $ \sum\limits_{j=1}^na_j$, $ \sum\limits_{t=1}^na_t$, $ \sum\limits_{{\alpha}=1}^na_{{\alpha}}$и т. п.)

Найти общее решение дифференциальных уравнений .

Вычислить . Решение. Начинаем вновь с проверки не разделятся ли переменные интегрирования. Убеждаемся, что это не так, и, кроме того, однородным оно тоже не является. Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как имеет структуру вида: . Будем решать его с помощью стандартной в этом случае, замены: .

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений. Решение. Сведем предложенную систему к одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Для этого продифференцируем первое уравнение системы по t:

Записать уравнение кривой, проходящей через точку, для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной к кривой в произвольной её точке и радиус-вектором точки касания, равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу).

Найти общее решение дифференциального уравнения *. Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной x, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования: .

Решить уравнение . Решение. Правая часть уравнения представляет собой дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Выпишем общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка .


Английское искусство конца XVIII–XIX века Теория вероятностей